错排问题

一个有n个元素的排列，若一个排列中所有元素都不在自己原来的位置上，那么这样的一个排列就被称为原排列的一个错排。

研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

错排公式：D(n) = (n - 1) * (D[n-1] + D[n-2])

其中D(1) = 0, D(2) = 1

证明：（来源

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

弱校题库题目

//近似模板题，不多加解释了#include 
    
     long long dp[25], c[25][25];int main() {    dp[1] = 0; dp[2] = 1;    for(int i = 3; i < 22; i++) {        dp[i] = (i - 1) * (dp[i-1] + dp[i-2]);    }    for(int i = 1; i < 22; i++) {        c[i][i] = 1;        c[i][1] = i;        for(int j = 2; j < i; j++) {            c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];        }    }    int t;    scanf("%d", &t);    while(t--) {        int n, m;        scanf("%d %d", &n, &m);        printf("%lld\n", c[n][m] * dp[m]);    }    return 0;}